本文非常地粗糙和民科，算法很可能是假的。如果您知道已有的其他解法或者找到了我的证明的问题，请告知我是小丑。
最近做 CF1909G 的时候想复杂了，结果发现了一些奇怪的性质，感觉不大平凡？
引理：一个足够长的串 $s$，$s_1\ne s_{n+1}$。若 $s_{1\cdots n}$ 的最小整周期为 $p<n$，有某个 $1<i\le n$，$s_{i\cdots i+n-1}$ 的最小整周期为 $q<n$，那么 $i>n-p-q+\gcd(p,q)+1$。
证：反证，假设 $i\le n-p-q+\gcd(p,q)+1$。
$p\mid q$ 的情况下，$i\le n-q+1$，$s_{n+1}=s_{n-q+1}=s_{1}$，矛盾。
$p\nmid q$ 的情况下，$s_{i\cdots n}$ 这一段长度至少为 $p+q-\gcd(p,q)$，且有 $p$ 和 $q$ 作为周期，由强周期引理，$p$ 不是 $s_{1\cdots n}$ 的最小整周期，矛盾。
$i$ 取到 $n-p-q+\gcd(p,q)+2$ 的情况应该可以构造，不过我现在还没找到通用的形式。
一个有趣的推论是 $i>n/3+1$，这可以通过讨论所有 $p,q>n/6$ 证明。取到 $i=n/3+2$ 的情况是这样的： $$ \texttt{a}t\texttt{b}t\texttt{a}\textcolor{red}{t\texttt{a}t\texttt{b}t\texttt{a}t}+\textcolor{red}{\texttt{b}t\texttt{a}t\texttt{b}} $$ $t$ 表示任意串。前面一个串 $p=n/2$，红色部分 $q=n/3$。
然后发现了一个求定长区间最小整周期的线性算法（定长长为 $n$）：
首先 $p=n/2$ 的情况要暴力判掉。
从左往右移窗口。对于当前子串 $s_{l\cdots r=l+n-1}$，反过来跑 KMP。
case 1. 如果找到了 $<n$ 的最小整周期（这里找到 $n/2$ 也无所谓），那就可以一步步移左右端点，看能否维持当前周期，如果不行，根据引理可以至少一次性往后跳 $(n-p)/2$。称这个为优化 A。
case 2. 否则，如果下一个具有最小整周期 $p\le n/3$ 的区间与 $[l,r]$ 有交，那么交的部分一定也有 $p$ 的周期。并且，如果交的部分长 $\ge 2n/3$，那么 $p$ 一定是它的最小周期（否则可以用弱周期引理导出更小的 $p$）。现在，找到当前区间的最长后缀 $[t,r]$，满足这个后缀的最小周期是 $\le n/3$ 的 $n$ 的因数，把区间左端点移到 $\min(t,l+n/3)$。称这个为优化 B。注意优化 B 是不能兼容 $p=n/2$ 的，因为交里的循环节不足 $2$ 次，无法保证最小周期。比如当前子串为 $\texttt{aaaaaaaaaabaaaaa}$，那么后续必须逐一检查。
性质：连续进行两次优化 B，左端点移动超过 $n/3$。
证：如果两次中有至少一次左端点移到的这个 $\min$ 式子取的后一项，那么已证毕。
否则考虑反证，如果左端点移动 $\le n/3$，设两次分别移动到 $[l^\prime,r^\prime],[l^{\prime\prime},r^{\prime\prime}]$，$[l^\prime,r]$ 和 $[l^{\prime\prime},r^\prime]$ 的最小周期分别为 $p,q\le n/3$。由于 $r-l^{\prime\prime}+1\ge 2n/3$，故 $[l^{\prime\prime},r]$ 具有周期 $\gcd(p,q)$，故 $[l^\prime,r^\prime]$ 具有周期 $\gcd(p,q)$，不应有第二次优化 B，矛盾。
综上，无论何种情况，都可以一次性跳过至少 $n/3$ 个位置，总时间复杂度为 $\mathrm{O}(n\cdot \lvert s\rvert/n)=\mathrm{O}(\lvert s\rvert)$。
优化 A 应该是不必要的（可以直接从 $l+1$ 继续），因为如果 case 1 紧跟 case 2 的话，case 2 应当一定会跳 $\min$ 的后一项。这个我没仔细证。