提供一个自己做的思路。用到的性质比其他正解弱，但更容易想。
考虑单棵树的判定。初步读题后会得到两个性质：
- 一个点的儿子边权不能重复。
- 设所有权为 $i$ 的边的较浅端点形成集合 $S_i$，则所有 $S_i$ 形成一个“连续包含链”的结构。或者也可以从一个点的所有儿子边权角度等价描述。
这些性质都是 beautiful subtree 的必要条件，并且对于想象力不够丰富的选手来说，难以加强至充要条件。既然必要角度不行，那考虑充分角度——同样是一个很常见的套路，我们希望找到一种排列的构造，使得对于 beautiful subtree，构造出来的排列必定是 beautiful permutation；如果不是 beautiful subtree，那就不用考虑了。于是剩余要做的就是验证一遍题意中的条件即可。
归纳易证排列中越靠前的点子树 size 越大，因此先按 size 排序；如果两棵子树 size 相同，那么也归纳易证它们同构，因此它们的相对顺序只取决于它们各自父亲的相对顺序。因此可以在按 size 排序后再扫一遍，size 相同的按父亲在序列中的位置排序。这样可以做到 $\mathrm{O}(n\log n)$ 单次判定。这些归纳易证的部分也都很直觉的。
对于原问题，一个有意思的猜想是，一棵 beautiful subtree 的子树也都是 beautiful 的。考试中当然可以直接 assert 然后交上去看看，不过这也是好证的。考虑 $T(u)$ 对应的某个 beautiful permutation $p$。对于 $v\in T(u)$，将 $p$ 中 ${}\in T(v)$ 的点对应的子序列 $p’$ 取出来，可以证明这就符合条件。因为对于某种权值的边，除去它的较深端点为 $v$ 的情况以外（$v$ 本身在 $p’$ 中不贡献给计数器，故也不用考虑），其余该权值的边的两端点要么同时在 $p’$ 中，要么同时不在 $p’$ 中。因此扔掉 $p’$ 以外的部分后，剩余的连边情况是保持不变的。
剩下的就是思想类似 [WC2018] 即时战略 的二分了。取出重链，在上面二分，然后往轻儿子递归。硬二分是 $\mathrm{O}(n\log^3n)$ 的（代码），如果按全局平衡二叉树的方式带权二分，则是 $\mathrm{O}(n\log^2 n)$ 的。这是因为考虑大小为 $n$ 的树的第一轮二分，假设得到的根最浅 beautiful subtree 大小为 $s$，那么分 $\ge 2s$ 和 $<2s$ 的子树判定讨论，这轮二分的复杂度为 $\mathrm{O}(n\log n+s\log^2 n)$。接下来，剩余若干大小 $\le n/2$，和为 $n-s$ 的子问题，这样分析下来就是 $\log^2$ 的。